Pembahasan Soal Relativitas
Solusi Soal Relativitas
1. Soal
Menurut pengmat di bumi, panjang pesawat ruang angkasa tinggal 3/4 dari panjang semula. Laju pesawat tersebut adalah ( dengan c adalah laju cahaya dalam vakum) (SBMPTN 2014)
A. $\displaystyle \frac{1}{4}\sqrt{7}c$
B. $\displaystyle \frac{2}{3}c$
C. $\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{7}c$
D. $\displaystyle \frac{1}{2}c$
E. $\displaystyle \frac{1}{6}\sqrt{7}c$
Pembahasan
Diketahui
$L=\frac{3}{4}L_{o}$
maka
\begin{aligned}L&=L_{o}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\\ \frac{3}{4}L_{o}&=L_{o}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\\ \frac{3}{4}&=\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\\ \frac{9}{16}&=1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\\ \frac{v^{2}}{c^{2}}&=1-\frac{9}{16}\\ \frac{v^{2}}{c^{2}}&=\frac{7}{16}\\ v^{2}&=\frac{7}{16}c^{2}\\ v&=\frac{\sqrt{7}}{4}c\end{aligned}
Jawaban A
2. Soal
Pengamat pertama dan pengamat kedua mengukur bahawa kecepatan sebuah partikel berturut - turut sama dengan $v_{1}$ dan $v_{2}$. Jika $m_{1}$ dan $m_{2}$ berturut - turut adalah massa partikel menurut pengamat pertama dan kedua, maka .... (SBMPTN 2016)
A. $m_{1}^{2}(c^{2}-v_{2}^{2}=m_{2}^{2}(c^{2}-v_{1}^{2})$
B. $m_{2}^{2}(c^{2}-v_{1}^{2}=m_{1}^{2}(c^{2}-v_{2}^{2})$
C. $m_{1}^{2}(c^{2}-v_{1}^{2}=m_{2}^{2}(c^{2}-v_{2}^{2})$
D. $m_{1}^{2}(c^{2}+v_{1}^{2}=m_{2}^{2}(c^{2}-v_{2}^{2})$
E. $m_{1}^{2}(c^{2}-v_{1}^{2}=m_{2}^{2}(c^{2}+v_{2}^{2})$
Pembahasan
Jawaban A
2. Soal
Pengamat pertama dan pengamat kedua mengukur bahawa kecepatan sebuah partikel berturut - turut sama dengan $v_{1}$ dan $v_{2}$. Jika $m_{1}$ dan $m_{2}$ berturut - turut adalah massa partikel menurut pengamat pertama dan kedua, maka .... (SBMPTN 2016)
A. $m_{1}^{2}(c^{2}-v_{2}^{2}=m_{2}^{2}(c^{2}-v_{1}^{2})$
B. $m_{2}^{2}(c^{2}-v_{1}^{2}=m_{1}^{2}(c^{2}-v_{2}^{2})$
C. $m_{1}^{2}(c^{2}-v_{1}^{2}=m_{2}^{2}(c^{2}-v_{2}^{2})$
D. $m_{1}^{2}(c^{2}+v_{1}^{2}=m_{2}^{2}(c^{2}-v_{2}^{2})$
E. $m_{1}^{2}(c^{2}-v_{1}^{2}=m_{2}^{2}(c^{2}+v_{2}^{2})$
Pembahasan
\begin{aligned} m&=\frac{m_{o}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\\ m_{o}&=m\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\end{aligned}
maka
\begin{aligned} m_{o1}&=m_{o2}\\ m_{1}\sqrt{1-\frac{v_{1}^{2}}{c^{2}}}&m_{2}\sqrt{1-\frac{v_{2}^{2}}{c^{2}}}\\ m_{1}^{2}(c^{2}-v_{1}^{2})&=m_{2}^{2}(c^{2}-v_{2}^{2})\\ m_{1}^{2}\left(1-\frac{v_{1}^{2}}{c^{2}}\right)&=m_{2}^{2}\left(1-\frac{v_{2}^{2}}{c^{2}}\right)\\ m_{1}^{2}(c^{2}-v_{1}^{2})&=m_{2}^{2}(c^{2}-v_{2}^{2})\end{aligned}
Jawaban C3. Soal
Waktu paruh $\pi +$ meson dalam keadaan diam adalah $2,5\times 10^{-8}sekon$. Sejumlah $\pi +$ meson yang diproduksi pada jarak 15 m dari detektor, ternyata hanya setengahnya yang mampu mencapai detektor. Laju $\pi +$ meson tersebut adalah
A. $0,5c$
B. $c\sqrt{\frac{2}{5}}$
C. $c\frac{2}{\sqrt{5}}$
D. $c$
E. $2c$
PembahasanC. $c\frac{2}{\sqrt{5}}$
D. $c$
E. $2c$
Diketahui
$t_{o}=T=2,5\times 10^{-8}s$
maka
maka
\begin{aligned}t&=\frac{t_{o}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\\ \frac{s}{v}&=\frac{t_{o}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\\ \frac{15}{v}&=\frac{2,5 \times 10^{-8}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\\ 36\times 10^{16}&=\frac{v^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\\ 1-\frac{v^{2}}{c^{2}}&=\frac{v^{2}}{36\times 10^{16}}\\ 1-\frac{v^{2}}{(3\times 10^{8})^{2}}&=\frac{v^{2}}{36\times 10^{16}}\\ 1-\frac{v^{2}}{9\times 10^{16}}&=\frac{v^{2}}{36\times 10^{16}}\\ 1&=\frac{5v^{2}}{36\times 10^{16}}\\ v^{2}&=\frac{36\times 10^{16}}{5}\\ v&=\sqrt{\frac{36\times 10^{16}}{5}}\\ v&=\frac{6\times 10^{8}}{\sqrt{5}}\\ v&=\frac{2c}{\sqrt{5}}\end{aligned}
Jawaban C
Menurut teori relativitas khusus, pegas yang sedang di tekan massanya lebih besar dari pada massa pegas yang tidak ditekan.
SEBAB
Pegas yang sedang ditekan sejauh $x$ akan memiliki energi potensial sebesar $\frac{1}{2}kx^{2}$ sehingga perbedaan massa pegas di tekan dengan pegas tidak ditekan adalah $U/c^{2}$. (SIMAK UI 2010)
Pembahasan
Pernyataan dan alasan salah karena relativitas khusus membahas benda yang bergerak mendekati kecepatan cahaya.
Jawaban E
5. Soal
Jika energi total sebuah partikel bermassa m sama dengan dua kali energi diamnya, maka besar momentum relativistik partikel itu ialah (SIMAK UI 2010)
A. $mc/2$
B. $mc/\sqrt{2}$
C. $mc$
D. $mc\sqrt{3}$
E. $2mc$
PembahasanPembahasan
Pernyataan dan alasan salah karena relativitas khusus membahas benda yang bergerak mendekati kecepatan cahaya.
Jawaban E
5. Soal
Jika energi total sebuah partikel bermassa m sama dengan dua kali energi diamnya, maka besar momentum relativistik partikel itu ialah (SIMAK UI 2010)
A. $mc/2$
B. $mc/\sqrt{2}$
C. $mc$
D. $mc\sqrt{3}$
E. $2mc$
Diketahui
m = massa benda diam
m = massa benda diam
$E=2E_{o}$
Momentum relativitas (p)\begin{aligned}E^{2}&=E_{o}^{2}+p^{2}c^{2}\\ (2E_{o})^{2}&=E_{o}^{2}+p^{2}c^{2}\\ 3E_{o}^{2}&=p^{2}c^{2}\\ p&=\sqrt{3}\frac{E_{o}}{c}\\ p&=\sqrt{3}mc\end{aligned}
Jawaban D
6. Soal
B. $1,20\; GeV/c^{2}$
C. $2,00\; GeV/c^{2}$
D. $6,00\; GeV/c^{2}$
E. $16,0\; GeV/c^{2}$
Pembahasan
Usaha yang harus dilakukan untuk menaikkan kecepatan sebuah partikel bermassa m dari $0,6\; c$ menjadi $0,8\; c$ adalah sebesar ( UM UGM 2018)
A. $\displaystyle \frac{10}{48}mc^{2}$
B. $\displaystyle \frac{10}{24}mc^{2}$
C. $\displaystyle \frac{10}{12}mc^{2}$
D. $\displaystyle \frac{1}{24}mc^{2}$
E. $\displaystyle \frac{1}{12}mc^{2}$
9. Soal
Kecepatan pesawat kedua terhadap pesawat pertama
Jawaban D
6. Soal
Sebuah partikel mempunyai energi relativistik total 10 GeV dan momentum relativistik 8 GeV/c. Massa diam partikel itu ialah (SIMAK UI 2010)
A. $0,25\; GeV/c^{2}$B. $1,20\; GeV/c^{2}$
C. $2,00\; GeV/c^{2}$
D. $6,00\; GeV/c^{2}$
E. $16,0\; GeV/c^{2}$
Pembahasan
Diketahui
$E = 10\; GeV$
$p = 8\; GeV/c$
Massa diam , $m_{o}= . . . . ?$
$E = 10\; GeV$
$p = 8\; GeV/c$
Massa diam , $m_{o}= . . . . ?$
\begin{aligned}E^{2}&=E_{o}^{2}+p^{2}c^{2}\\ 10^{2}&=E_{o}^{2}+\left(\frac{8}{c}\right)^{2}c^{2}\\ 100&=E_{o}^{2}+64\\ E_{o}&=6\\ m_{o}c^{2}&=6\\ m_{o}&=6/c^{2}\; GeV\end{aligned}
Jawaban D
7. SoalJawaban D
Momentum suatu elektron awalnya sama dengan $mc$. Untuk memperkecil panjang de Broglie elektron ini agar menjadi setengah dari semula maka energi total elektron tersebut harus menjadi? (UM UGM 2018)
A. $\sqrt{2}mc^{2}$
B. $\sqrt{3}mc^{2}$
C. $\sqrt{4}mc^{2}$
D. $\sqrt{5}mc^{2}$
E. $\sqrt{6}mc^{2}$
Pembahasan
Diketahui
$p=mc$
$\lambda_{2}=\frac{1}{2}\lambda$
8. Soal
Hipotesis De Broglie
$\displaystyle \lambda=\frac{h}{p}$
maka
maka
\begin{aligned}\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}&=\frac{p_{2}}{p_{1}}\\ \frac{\lambda}{\frac{1}{2}\lambda}&=\frac{p_{2}}{p}\\ p_{2}&=2p\end{aligned}
maka energi totalnya menjadi
maka energi totalnya menjadi
\begin{aligned}E_{2}^{2}&=E_{o2}^{2}+p_{2}^{2}c^{2}\\ E_{2}^{2}&=E_{o}^{2}+(2p)^{2}c^{2}\\ E_{2}^{2}&=E_{o}^{2}+(2m_{o}c)^{2}\\ E_{2}^{2}&=m_{o}^{2}c^{4}+4m_{o}^{2}c^{4}\\ E_{2}^{2}&=5m_{o}^{2}c^{4}\\ E_{2}&=\sqrt{5}m_{o}c^{2}\end{aligned}
Jawaban D
Jawaban D
Usaha yang harus dilakukan untuk menaikkan kecepatan sebuah partikel bermassa m dari $0,6\; c$ menjadi $0,8\; c$ adalah sebesar ( UM UGM 2018)
A. $\displaystyle \frac{10}{48}mc^{2}$
B. $\displaystyle \frac{10}{24}mc^{2}$
C. $\displaystyle \frac{10}{12}mc^{2}$
D. $\displaystyle \frac{1}{24}mc^{2}$
E. $\displaystyle \frac{1}{12}mc^{2}$
Pembahasan
Diketahui
$v_{o}=\frac{6}{10}c$ maka $\gamma_{o}=\frac{10}{8}$
$v_{t}=\frac{8}{10}c$ maka $\gamma_{t}=\frac{10}{6}$
$v_{t}=\frac{8}{10}c$ maka $\gamma_{t}=\frac{10}{6}$
Usaha (W)
\begin{aligned}W&=\Delta E_{k}\\ W&=E_{k(akhir)}-E_{k(awal)}\\W&=(\gamma_{t}-\gamma_{o})E_{o}\\ W&=\left( \frac{10}{6}-\frac{10}{8}\right)E_{o}\\ W&=\frac{10}{24}E_{o}\\ W&=\frac{10}{24}mc^{2}\end{aligned}
Jawaban B
Pada sebuah dinding tegak terdapat gambar sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 3 m. Seandainya gambar tersebut dilihat oleh orang yang sedang berada di pesawat yang bergerak sejajar dengan dinding dengan kecepatan 0,6 c, maka luas segitiga tersebut adalah? (SBMPTN 2017)
A. $\sqrt{3}m^{2}$
B. $1,8\sqrt{2} m^{2}$
C. $1,8\sqrt{3} m^{2}$
D. $2,4\sqrt{3} m^{2}$
E. $3\sqrt{3} m^{2}$
Dua pesawat terbang yang cukup canggih menempuh jalur terbang yang sama berupa sabuah garis lurus. Pesawat pertama memiliki kecepatan $0,8\; c$ terhadap bumi, sedangkan pesawat kedua bergerak berada di belakang pesawat pertama. Jika sebuah benda bergerak lurus sejajar dengan kedua pesawat itu dan berkecepatan $0,5\; c$ terhadap pesawat pertama dan $0,89\; c$ terhadap pesawat kedua, maka kecepatan pesawat kedua terhadap bumi adalah? (SBMPTN 2017)
A. 0,10 c
B. 0,20 c
C. 0,30 c
D. 0,40 c
E. 0,50 c
$v_{BP}= . . . . . ?$
Pembahasan
Diketahui
Segitiga sama sisi
Segitiga sama sisi
$A_{o}=\frac{1}{2}\times 3\times \frac{3}{2}\sqrt{3}$
$A_{o}=\frac{9}{4}\sqrt{3}$
$v=0,6c$
Luas segitiga menurut pengamat yang bergerak\begin{aligned}A&=A_{o}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\\ A&=\frac{9}{4}\sqrt{3}\sqrt{1-\frac{(0,6c)^{2}}{c^{2}}}\\ A&=\frac{9}{4}\sqrt{3}\left(\frac{8}{10}\right)\\ A&=1,8\sqrt{3}\;cm^{2}\end{aligned}
Jawaban C
10. SoalJawaban C
Dua pesawat terbang yang cukup canggih menempuh jalur terbang yang sama berupa sabuah garis lurus. Pesawat pertama memiliki kecepatan $0,8\; c$ terhadap bumi, sedangkan pesawat kedua bergerak berada di belakang pesawat pertama. Jika sebuah benda bergerak lurus sejajar dengan kedua pesawat itu dan berkecepatan $0,5\; c$ terhadap pesawat pertama dan $0,89\; c$ terhadap pesawat kedua, maka kecepatan pesawat kedua terhadap bumi adalah? (SBMPTN 2017)
A. 0,10 c
B. 0,20 c
C. 0,30 c
D. 0,40 c
E. 0,50 c
Pembahasan
Diketahui
A = pesawat pertama
B = pesawat kedua
P = pengamat di bumi
C = benda
A = pesawat pertama
B = pesawat kedua
P = pengamat di bumi
C = benda
$v_{AP}=0,8c$
$v_{CA}=0,5c$
$v_{CB}=0,89c$
$v_{CA}=0,5c$
$v_{CB}=0,89c$
Kecepatan pesawat kedua terhadap pesawat pertama
\begin{aligned}v_{BA}&=\frac{v_{BC}+v_{CA}}{1+\frac{v_{BC}.v_{CA}}{c^{2}}}\\ v_{BA}&=\frac{-0,89c+0,5c}{1+\frac{-0,89c.0,5c}{c^{2}}}\\ v_{BA}&=\frac{-0,49c}{1-0,445}\\ v_{BA}&=\frac{-0,49c}{0,555}\\ v_{BA}&=-0,88c\end{aligned}
Kecepatan pesawat kedua terhadap pengamat dibumi
\begin{aligned}v_{BP}&=\frac{v_{BA}+v_{AP}}{1+\frac{v_{BA}.v_{AP}}{c^{2}}}\\ v_{BP}&=\frac{-0,88c+0,8c}{1+\frac{-0,88c.0,8c}{c^{2}}}\\ v_{BP}&=-0,27c\end{aligned}
Jawaban C
11. Soal
Kecepatan pesawat kedua terhadap pengamat dibumi
\begin{aligned}v_{BP}&=\frac{v_{BA}+v_{AP}}{1+\frac{v_{BA}.v_{AP}}{c^{2}}}\\ v_{BP}&=\frac{-0,88c+0,8c}{1+\frac{-0,88c.0,8c}{c^{2}}}\\ v_{BP}&=-0,27c\end{aligned}
Jawaban C
11. Soal
Seorang pengamat bergerak dengan kecepatan 0,6 c menyusur permukaan Bumi dengan c adalah cepat rambat cahaya dalam ruang hampa. Pengamat itu melewati sebuah lingkaran dengan jari - jari 1 m. Bangun geometris itu jika dilihat oleh orang yang diam di Bumi berupa elips dengan jarak antar titi api....(UTUL UGM 2019)
A. 0,64 m
B. 0,75 m
C. 1,50 m
D. 1,60 m
E. 1,82 m
Pembahasan
Diketahui
$v = 0,6\; c$
maka:
Diketahui
maka:
\begin{aligned}a&=a_{o}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\\ 1&=a_{o}\sqrt{1-\frac{(0,6c)^{2}}{c^{2}}}\\ 1&=0,8a_{o}\\ a_{o}&=\frac{1}{0,8}\\ a_{o}&=1,25\; m\end{aligned}
Jarak fokus elips (f)
Jarak fokus elips (f)
\begin{aligned} f&=\sqrt{a_{o}^{2}-b_{o}^{2}}\\ f&=\sqrt{1,25^{2}-1^{2}}\\ f&=0,75\; m\end{aligned}
Jarak antar fokus elips $= 2f = 2 (0,75) = 1,5\; m$
Jawaban C
12. Soal
Jarak antar fokus elips $= 2f = 2 (0,75) = 1,5\; m$
Jawaban C
12. Soal
Massa suatu benda yang sedang bergerak menurut pengamat yang diam di bumi bertambah 25% dari massa diamnya. Bila c = kelajuan cahaya dalam ruang hampa, maka kecepatan gerak benda tersebut adalah . . . .
A. 0,3 c
B. 0,4 c
C. 0,6 c
D. 0,8 c
E. 1,25 c
Pembahasan
Diketahui
Relativitas
$m=1,25m_{o}=\frac{5}{4}m_{o}$
Relativitas massa
\begin{aligned}m&=\frac{m_{o}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\\ \frac{5}{4}m_{o}&=\frac{m_{o}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{v^{2}}}}\\ \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}&=\frac{4}{5}\\ 1-\frac{v^{2}}{c^{2}}&=\frac{16}{25}\\ \frac{v^{2}}{c^{2}}&=1-\frac{16}{25}\\ \frac{v^{2}}{c^{2}}&=\frac{9}{25}\\ v&=\frac{3}{4}c\end{aligned}
Jawaban C
13. Soal
Di suatu tempat vakum udara benda yang berukuran sangat kecil dengan massa diam sebesar mo ditembakkan sehingga bergerak dengan kecepatan 0,8 c. Energi total dan energi kinetik benda tersebut sebesar?
A. $5/3\; m_{o}c^{2}$ dan $2/3\;m_{o}c^{2}$
B. $2/3\; m_{o}c^{2}$ dan $5/3\;m_{o}c^{2}$
C. $3/5\; m_{o}c^{2}$ dan $4/5\;m_{o}c^{2}$
D. $4/5\; m_{o}c^{2}$ dan $3/5\;m_{o}c^{2}$
E. $1/3\; m_{o}c^{2}$ dan $2/3\;m_{o}c^{2}$
Pembahasan
Diketahui
$v = 0,8\; c$
$m_{o}$=massa benda diam
$m_{o}$=massa benda diam
Energi total relativitas
\begin{aligned}E&=\frac{E_{o}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\\ E&=\frac{m_{o}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{(0,8)^{2}}{c^{2}}}}\\ E&=\frac{m_{o}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{0,64c^{2}}{c^{2}}}}\\ E&=\frac{m_{o}c^{2}}{\sqrt{0,36}}\\ E&=\frac{m_{o}c^{2}}{0,6}\\ E&=\frac{5}{3}m_{o}c^{2}\end{aligned}
\begin{aligned}E&=\frac{E_{o}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\\ E&=\frac{m_{o}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{(0,8)^{2}}{c^{2}}}}\\ E&=\frac{m_{o}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{0,64c^{2}}{c^{2}}}}\\ E&=\frac{m_{o}c^{2}}{\sqrt{0,36}}\\ E&=\frac{m_{o}c^{2}}{0,6}\\ E&=\frac{5}{3}m_{o}c^{2}\end{aligned}
Energi kinetik relativitas
\begin{aligned}E_{k}&=E-E_{o}\\ E_{k}&=\frac{5}{3}E_{o}-E_{o}\\ E_{k}&=\frac{2}{3}E_{o}\\ E_{k}&=\frac{2}{3}m_{o}c^{2}\end{aligned}
Jawaban A
14. Soal
Sebuah benda bermassa $m_{o}$. Usaha yang diperlukan agar partikel tersebut memiliki energi total $1,5\; m_{o}c^{2}$ dari keadaan diam adalah? ....$m_{o}c^{2}$ (c = cepat rambat cahaya di ruang vakum)
A. 1,50
B. 1,25
C. 1,00
D. 0,75
E. 0,50
Pembahasan
Diketahui:
$E_{total(awal)}=0$
$E_{total(akhir)}=1,5\; m_{o}c^{2}$
Maka:
$E_{total(akhir)}=1,5\; m_{o}c^{2}$
Maka:
\begin{aligned} W&=E_{tot(akhir)}-E_{tot(awal)}\\ W&=E_{tot(akhir)}-E_{tot(awal)}\\ W&=1,5m_{o}c^{2}-0\\ W&=1,5\;m_{o}c^{2}\end{aligned}
Jawaban A
15. Soal
Suatu jalan lurus sepanjang 10.000 m dilihat dari dalam pesawat yang melaju dengan kecepatan $0,6\;c$ berarah membentuk sudut $37^{\circ}$ terhadap jalan tersebut. Berapakah panjang jalan tersebut menurut awak pesawat?
A. 4800 m
B. 6000 m
C. 6400 m
D. 8000 m
E. 8773 m
Pembahasan
Diketahui
Bagian yang menyusut adalah bagian yang sejajar dengan arah gerak
\begin{aligned}L_{x}&=L_{o}\; cos\; \theta\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\\ L_{x}&=1000. (0,8)\sqrt{1-\frac{(0,6c)^{2}}{c^{2}}}\\ L_{x}&=8000.(0,8)\\ L_{x}&=6400\;m\end{aligned}
Sedangkan bagian yang tegak lurus tetap
\begin{aligned}L_{y}&=L_{o}sin\; \theta\\ L_{y}&=10000.(0,6)\\ L_{y}&=6000\;m\end{aligned}
Maka panjang benda menurut pengamat bergerak yang membentuk sudut $37^{\circ}$:
\begin{aligned}L&=\sqrt{L_{x}^{2}+L_{y}^{2}}\\ L&=\sqrt{6400^{2}+6000^{2}}\\ L&=8772,7\;m\end{aligned}
Jawaban E
Tags:
Fisika Modern
