Pembahasan Soal Peluruhan

Solusi Soal Peluruhan dan Waktu Paruh
1. Soal
Massa satu bahan radioaktif adalah 5,2 gram. Setelah 24 hari kemudian massa bahan tersebut tinggal 1,3 gram. Waktu paruh bahan radioaktif tersebut adalah? (SBMPTN 2014)
A. 24 jam
B. 2 hari
C. 12 hari
D. 24 hari
E. 48 hari
Pembahasan
Diketahui

$M_{o}=5,2\;gram$
$M=1,3\;gram$
$t=24\; hari$
\begin{aligned}M&=M_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\\ 1,3&=5,2\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{24}{T}}\\ \left(\frac{1}{2}\right)^{2}&=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{24}{T}}\\ 2&=\frac{24}{T}\\ T&=12\;hari\end{aligned}   
Jawaban C
2. Soal
Waktu paruh Torium 234 sekitar 25 hari. Jika 32 gram torium disimpan selama 100 hari, maka massa toriu yang masih tersisa adalah... (SBMPTN 2014)
A. 2 gram
B. 4 gram
C. 8 gram
D. 16 gram
E. 20 gram
Pembahasan
Diketahui
$T=25\;hari$

$M_{o}=32\;gram$
$t=100\;hari$
$M= . . . . . ?$

\begin{aligned} M&=M_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\\ M&=32\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{100}{25}}\\ M&=32\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\\ M&=32\left(\frac{1}{16}\right)\\ M&=2\;gram\end{aligned}
Jawaban A
3. Soal

Radioisotop K-40 digunakan untuk mengetahui umur sempel batu. Waktu paruh K-40 adalah $1,28\times 10^{9}\;tahun$. Jumlah peluruhan per detik terjadi pada sampel yang mengandung $1,63\times 10^{-6}\;gr$ K-40 adalah?

A. 0,172 peluruhan/detik
B. 0,245 peluruhan/detik
C. 0,316 peluruhan/detik
D. 0,421 peluruhan/detik
E. 0,693 peluruhan/detik
Pembahasan 

Diketahui

$m=1,63\times 10^{-6}\;gram$
$T=1,28\times 10^{9}\;tahun$
$T=1,28\times 10^{9} \times 365\times 24\times 3600 detik$
Peluruhan per detik (Aktivitas Peluruhan)

\begin{aligned}A&=\lambda N\\ A&=\left(\frac{ln\; 2}{T}\right)nN_{A}\\ A&=\left(\frac{0,693}{T}\right)\frac{m}{Mr}N_{A}\\ A&=\left(\frac{0,693}{1,28\times 10^{9}\times 365\times 24\times 3600}\right)\frac{1,63\times 10^{-6}}{49}\times (6,02\times 10^{23})\\ A&=0,421\; peluruhan/detik\end{aligned}

Jawaban D

4. Soal

Radionuklida Pt-199 memiliki waktu paruh 30,8 menit. Sebuah sampel dipersiapkan memiliki aktivitas $7,56\times 10^{11}Bq$ . Jumlah nukleus Pt-199 pada sampel adalah (SIMAK UI 2012)

A. $2,02\times 10^{15}$
B. $3,08\times 10^{15}$
C  $3,74\times 10^{15}$
D  $4,25\times 10^{15}$
E. $7,56\times 10^{15}$
Pembahasan

Diketahui

$T = 30,8\; menit = 1848\; sekon$

$A = 7,56\times 10^{11}Bq$
maka jumlah paratikel

\begin{aligned}A&=\lambda N\\ N&=\frac{A}{\lambda}\\ N&=\frac{A}{\frac{ln\;2}{T}}\\ N&=\frac{A}{ln\;2}T\\ N&=\frac{7,56\times 10^{11}}{0,693}(1848)\\ N&=2,016\times 10^{15}\end{aligned}

Jawaban A

5. Soal

Waktu paruh Thorium 231 adalah 25,6 jam. Jika pada t = 0 sampel terdiri atas $10^{12}$ atom, hitunglah laju peluruhan saat itu?

A. $2,2\times 10^{10}$ atom/jam 
B. $2,7\times 10^{10}$ atom/jam
C. $3,2\times 10^{10}$ atom/jam
D. $3,7\times 10^{10}$ atom/jam
E. $4,1\times 10^{10}$ atom/jam
Pembahasan
Diketahui
$T= 25,6\; jam$
Laju Peluruhan (A)

\begin{aligned}A&=\lambda N\\ A&=\frac{ln\;2}{T}N\\ A&=\frac{0,693}{25,6}(10^{12})\\ A&=2,7\times 10^{10}\;atom/jam\end{aligned}

Jawaban B
6. Soal

Sebuah gelas kayu kuno yang ditemukan di situs arkeologi memiliki aktivitas radiasi 2,1 Bq, sedangkan kayu sejenis yang baru ditebang dari pohonnya memiliki aktivitas radiasi 8,4 Bq. Bila waktu paruh karbon-14 = 5730 tahun, maka perkiraan usia cangkir kayu adalah (SIMAK UI 2012)

A. 2865  tahun

B. 5730 tahun

C. 11460 tahun

D. 17190 tahun

E. 22920 tahun

Pembahasan
Diketahui

$A_{t}=2,1\;Bq$
$A_{o}=8,4\;Bq$
maka:

\begin{aligned}A_{t}&=A_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\\ 2,1&=8,4\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5730}}\\ \frac{2,1}{8,4}&=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5730}}\\ \left(\frac{1}{2}\right)^{2}&=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5730}}\\ 2&=\frac{t}{5730}\\ t&=11460\;tahun\end{aligned}

Jawaban C
7. Soal
Umur paruh $^{24}Na$ adalah 15 hari. Waktu yang diperlukan supaya 75 persen sampel yang mengandung nuklida ini meluruh adalah? (UM UGM 2006)
A. 15 hari
B. 30 hari
C. 45 hari
D. 60 hari
E. 75 hari
Pembahasan
Diketahui
$T = 15\; hari$
$N_{o}=1$
$\Delta N=75 \;persen = 0,75$

$N=0,25=\frac{1}{4}$
Maka

\begin{aligned}N&=N_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\\ \frac{1}{4}&=1\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{15}}\\ \left(\frac{1}{2}\right)^{2}&=1\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{15}}\\ 2&=\frac{t}{15}\\ t&=30\; hari\end{aligned}
Jawaban B
8. Soal
Sebuah meson  $\pi$ memiliki umur paro $T$. Bila suatu berkas meson $\pi$ bergerak dengan kecepatan $v=\beta c$ maka intensitas berkas meson $pi$ tadi akan menjadi setengah nilai mula - mulanya pada jarak?
(UM UGM 2010)
A. $c\beta T(1-\beta)/(1+\beta)$
B. $c\beta T(1-\beta^{2})^{1/2}$
C. $\beta vT$
D. $(1-\beta^{2})^{1/2}vT$
E. $\beta cT$
Pembahasan
Diketahui

Waktu paruh $t_{o}=T$ 
\begin{aligned}t&=\frac{t_{o}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\\ \frac{s}{v}&=\frac{t_{o}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\\ \frac{s}{\beta c}&=\frac{t_{o}}{\sqrt{1-\frac{(\beta c)^{2}}{c^{2}}}}\\ \frac{s}{\beta c}&=\frac{T}{\sqrt{1-\frac{(\beta c)}{c^{2}}}}\\ s&=\frac{c\beta T}{(1-\beta^{2})^{\frac{1}{2}}}\end{aligned}

Jawaban  B
9. Soal
Umur paruh dari radium adalah 1600 tahun. Bila sebongkah batu mengandung 0,2 gram radium, maka jumlah radium dalam batu tersebut 12800 tahun yang lalu adalah? (UM UGM 2013)
A. 31,2 gram
B. 41,2 gram
C. 51,2 gram
D. 61,2 gram
E. 71,2 gram
Pembahasan
Diketahui
$T = 1600\; tahun$
$M = 0,2\; gram$
$t = 12800\; tahun$
$M_{o}= . . . . .?$
Maka:

\begin{aligned} M&=M_{o}\left(\frac{1}{2}\right)6{\frac{t}{T}}\\ 0,2&=M_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{12800}{1600}}\\ 0,2&=M_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{8}\\ 0,2&=M_{o}\left(\frac{1}{256}\right)\\ M_{o}&=51,2\;gram\end{aligned}

Jawaban C

10. Soal
Sebuah unsur radioaktif X meluruh, sehingga setelah berturut - turut 6 hari dan 9 hari, banyaknya unsur X yang tersisa berturut - turut 40 gram dan 20 gram. Banyak unsur X mula - mula adalah? (UM UGM 2014)
A. 640 gram
B. 480 gram
C. 320 gram
D. 160 gram
E. 80 gram
Pembahasan
Diketahui

$\displaystyle N=N_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$

Terdapat 2 keadaan 

$\displaystyle 40=N_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{6}{T}}$

$\displaystyle 20=N_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{9}{T}}$

diperoleh

\begin{aligned}\frac{20}{40}&=\frac{N_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{9}{T}}}{N_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{6}{T}}}\\ \frac{1}{2}&=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{9}{T}-\frac{6}{T}}\\ \left(\frac{1}{2}\right)^{1}&=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{T}}\\ T&=3\;hari\end{aligned}
maka:

\begin{aligned}20&=N_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{9}{T}}\\ 20&=N_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{9}{3}}\\ 20&=N_{o}\left(\frac{1}{8}\right)\\ N_{o}&=160\;gram\end{aligned}
Jawaban D

11. Soal
Setelah tiga jam sebanyak 93,75 % zat radioaktif X telah meluruh menjadi zat lain. Waktu paruh zat X adalah? (UM UGM 2017)
A. 30 menit
B. 36 menit
C. 45 menit
D. 60 menit
E. 90 menit
Pembahasan
Diketahui
t = 3 jam
Banyak zat yang meluruh $Delta M$ = 93,75 % = 0,9375
M = 6,25 %= 0,0625
Maka:

\begin{aligned}M&=M_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\\ 0,0625&=1\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{T}}\\ \frac{1}{16}&=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{T}}\\ \left(\frac{1}{2}\right)^{4}&=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{T}}\\ 4&=\frac{3}{T}\\ T&=\frac{3}{4}\;jam\\ T&=45\;menit\end{aligned}
Jawaban C
12. Soal
Setelah rentang waktu $t_{1}$ , aktivitas suatu zat radioaktif berkurang dari $N_{o}$  ke $N_{1}$ . Tetapan peluruhan zat radiaktif tersebut adalah? (UM UGM 2016)
A. $\displaystyle \frac{1}{t_{1}}(ln\; N_{1}-ln\; N_{o})$
B. $\displaystyle \frac{1}{t_{1}}(ln\; N_{1}+ln\; N_{o})$
C. $\displaystyle \frac{1}{t_{1}}(ln\; N_{o}-ln\; N_{1})$
D. $\displaystyle t_{1}(ln\; N_{o}-ln\; N_{1})$
E. $\displaystyle t_{1}(ln\; N_{1}-ln\; N_{o})$
Pembahasan
Konstanta Peluruhan

\begin{aligned} A&=\lambda N\\ -\frac{dN}{dt}&=\lambda N\\ -\frac{1}{N}dN&=\lambda\;dt\\ -\int \frac{1}{N}\; dN&=\int \lambda\; dt\\ -\left[ln\; N\right]^{1}_{0}&=\lambda t\\ -\left[ln\;N_{1}-ln\;N_{0}\right]&=\lambda t\\ (ln\;N_{o}-ln\;N_{1})&=\lambda t\\ \lambda&=\frac{1}{t}(ln\;N_{o}-ln\; N_{1})\end{aligned}
Jawaban C
13. Soal
Suatu inti radioaktif A memiliki waktu paruh 12 jam. Jika suatu sampel yang pada saat awal berisi $m_{o}$ gram inti atom A, maka selama waktu t = 48 jam hingga t = 60 jam banyak inti A yang meluruh adalah sebanyak? (UM UGM 2018)
A. $\displaystyle \frac{m_{o}}{32}$
B. $\displaystyle \frac{m_{o}}{16}$
C. $\displaystyle \frac{m_{o}}{8}$
D. $\displaystyle \frac{m_{o}}{4}$
E. $\displaystyle \frac{m_{o}}{2}$

Pembahasan
Diketahui waktu paruh T = 12 jam

$M=M_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$
untuk  waktu peluruhan t = 48 jam

\begin{aligned} m_{1}&=m_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{48}{12}}\\ m_{1}&=m_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\\ m_{1}&=m_{o}\left(\frac{1}{16}\right)\end{aligned}
untuk  waktu peluruhan t = 60 jam

\begin{aligned} m_{2}&=m_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{60}{12}}\\ m_{2}&=m_{o}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}\\ m_{2}&=m_{o}\left(\frac{1}{32}\right)\end{aligned}
Maka banyak inti A yang meluruh

$\Delta m=m_{1}-m_{2}$
$\Delta m=\frac{1}{16}m_{o}-\frac{1}{32}m_{o}$

$\Delta m=\frac{1}{32}m_{o}$
Jawaban A