Pembahasan Soal Gravitasi Newton

Solusi Soal Gravitasi Newton
1. Soal

Sebuah planet memiliki jari - jari dua kali jari - jari bumi dan massa jenisnya sepertiga kali massa jenis bumi. Jika berat sebuah benda di permukaan bumi adalah 540 N, maka berat benda pada ketinggian R dari permukaan planet adalah.... (R= bumi jari - jari bumi) (SIMAK UI 2012)

A. 33,75 N

B. 60 N

C. 90 N

D. 160 N

E. 500 N

Pembahasan

\begin{aligned} m_{bumi}: m_{planet}&=(\rho.V)_{bumi}:(\rho.V)_{planet}\\ m_{bumi}: m_{planet}&=\rho.\frac{4}{3}\pi R^{3}: \frac{1}{2}\rho.\frac{4}{3}\pi (2R)^{3}\\ m_{bumi}: m_{planet}&=\rho. R^{3}: \frac{1}{3}\rho.8R^{3}\\ m_{bumi}: m_{planet}&=3 : 8\end{aligned}

Berat benda ketika berada pada ketinggian R dari planet maka $r_{planet}=3R$

\begin{aligned} \frac{W_{bumi}}{W_{planet}}&=\frac{m_{bumi}}{m_{planet}}\left(\frac{r_{planet}}{r_{bumi}} \right)^{2}\\ \frac{540}{W_{planet}}&=\frac{3}{8}\left(\frac{3R}{R} \right)^{2}\\ W_{planet}&=160\;N\end{aligned}

Jawaban D
2. Soal
Planet A mengitari sebuah bintang pada lintasan berbentuk lingkaran berjari - jari R dengan periode T. Jika planet B mengitari bintang yang sama  pada lintasan lingkaran berjari - jari 4R, maka periode edar planet B adalah ? (SBMPTN 2014)
A. T/2
B. 2T
C. 4T
D. 8T
E. 16 T
Pembahasan

\begin{aligned} \left(\frac{T_{B}}{T_{A}}\right)^{2}&=\left(\frac{R_{B}}{R_{A}}\right)^{3}\\ T_{B}^{2}&=\left(\frac{R_{B}}{R_{A}}\right)^{3}T_{A}^{2}\\ T_{B}^{2}&=\left(\frac{4R}{R}\right)^{3}T^{2}\\ T_{B}&=8T\end{aligned}

Jawaban D
3. Soal

Sebuah planet yang berbentuk bola memiliki rapat massa rata-rata dua kali rapat massa rata -rata bumi, sedangkan jari - jarinya hanya setengah jari - jari bumi. Jika sebuah benda di permukaan bumi memiliki berat 100 N, maka berat benda di permukaan planet tersebut adalah? (UM UGM 2015)

A. 400 N

B. 200 N

C. 100 N

D. 50 N

E. 25 N

Pembahasan
$\rho_{planet}=2\rho_{bumi}$
$R_{planet}=\frac{1}{2}R_{bumi}$

Perbandingan massa bumi dan massa planet

\begin{aligned} m_{bumi}: m_{planet}&= (\rho.V)_{bumi}: (\rho. V)_{planet}\\ m_{bumi}: m_{planet}&=\rho \frac{4}{3}\pi R^{3}: 2\rho \frac{4}{3}\pi (\frac{1}{2}R)^{3}\\ m_{bumi}: m_{planet}&= 4:1\end{aligned}

Maka berat benda di bumi 100 N di permukaan planet adalah
\begin{aligned} \frac{W_{bumi}}{W_{planet}}&=\frac{m_{bumi}}{m_{planet}}\left(\frac{r_{planet}}{r_{bumi}} \right)^{2}\\ \frac{100}{W_{planet}}&=\frac{4}{1} \left(\frac{0,5R}{R} \right)^{2}\\ \frac{100}{W_{planet}}&=\frac{4}{4}\\ W_{planet}&=100\; N \end{aligned}

Jawaban C
4. Soal

Dua planet A dan B masing - masing pada lintasan berbentuk elips. Perbandingan periodenya $\frac{T_{A}}{T_{B}}=8$. Nilai perbandingan setengah sumbu panjang lintasannya, $\frac{R_{A}}{R_{B}}$ bernilai ? (UM UGM 2015)

A. 16
B. 12
C. 6
D. 4
E. 2
Pembahasan
Hukum  Keppler 3
\begin{aligned} \left(\frac{R_{A}}{R_{B}} \right)^{3}&=\left(\frac{T_{A}}{T_{B}}\right)^{2}\\ \left(\frac{R_{A}}{R_{B}}\right)^{3}&=8^{2}(akar\;3)\\ \frac{R_{A}}{R_{B}}&=4\end{aligned}

Jawaban D
5. Soal

Dua planet A dan B mengorbit matahari. Jika perbandingan antara jarak planet A dan planet B ke matahari 4 : 9 dan periode planet A  mengelilingi matahari adalah 24 hari, maka periode planet B mengelilingi matahari adalah? (SBMPTN 2014)

A. 81 hari
B. 54 hari
C. 33 hari
D. 28 hari
E. 24 hari
Pembahasan

\begin{aligned} \left(\frac{R_{A}}{R_{B}}\right)^{3}&=\left(\frac{T_{A}}{T_{B}}\right)^{2}\\ \left(\frac{4}{9}\right)^{3}&=\left(\frac{24}{T_{B}}\right)^{2}(akar\; 2)\\ \frac{8}{27}&=\frac{24}{T_{B}}\\ T_{B}&=81\; hari \end{aligned}

Jawaban A
6. Soal

Dua buah satelit A dan B mengorbit planet Z masing - masing pada ketinggian 400 km dan 5400 km dari permukaan planet tersebut, dengan periode masing - masing berturut - turut 8 hari dan 27 hari. Jari - jari planet Z tersebut adalah ? (UM UGM 2014)

A. 1200 km
B. 2000 km
C. 2400 km
D. 3000 km
E. 3600 km
Pembahasan
Diketahui
$R_{A}=R+400$
$T_{A}=8\;hari$
$R_{B}=R+5400$
$T_{B}=27\;hari$

Berlaku hukum 3 Kepler
\begin{aligned}\left(\frac{R_{A}}{R_{B}}\right)^{3}&=\left(\frac{T_{A}}{T_{B}}\right)^{2}\\ \left(\frac{R+400}{R+5400}\right)^{3}&=\left(\frac{8}{27}\right)^{2}\\ \left(\frac{R+400}{R+5400}\right)^{3}&=\left(\frac{8}{27}\right)^{2}(akar\;3)\\ \frac{R+400}{R+5400}&=\frac{4}{9}\\ 9(R+400)&=4(R+5400)\\ 9R+3600&=4R+21600\\ 5R&=18000\\ R&=3600\; km\end{aligned}
Jawaban E
7. Soal
Sebuah satelit mengorbit bumi dalam bentuk elips.
Manakah pernyataan berikut yang BENAR? (SBMPTN 2016)
1) Kelajuan satelit tidak berubah
2) Energi mekanik satelit tidak berubah
3) Energi kinetik satelit tidak berubah
4) Periode orbit satelit tidak berubah
Pembahasan
Orbit satelit mengelilingi bumi elips maka jari - jari berubah, menyebabkan:
1. Kelajuan satelit berubah
2. Energi mekanik selalu tetap
3. Energi kinetik berubah
4. Periode orbit tetap
Jawaban  C (2 dan 4 benar)
8. Soal

Sebuah satelit bermassa m bergerak melingkar disekitar sebuah planet M. Manakah pernyataan berikut yang BENAR? (SBMPTN 2016)

1) Energi mekanik satelit bernilai negatif
2) Energi potensial satelit lebih besar daripada energi kinetik satelit
3) Energi potensial satelit bernilai negatif
4) Energi kinetik satelit lebih kecil daripada energi mekanik satelit
Pembahasan
Orbit satelit mengelilingi bumi melingkar maka jari - jari berubah, menyebabkan:
1. Energi mekanik tetap dan bernilai negatif
2. Energi potensial lebih kecil daripada energi kinetik
3. Energi potensial satelit bernilai negatif
4. Energi kinetik satelit lebih besar daripada energi mekanik
$\displaystyle E_{p}=-G\frac{Mm}{R}$

$\displaystyle E_{k}=G\frac{Mm}{2R}$

maka energi mekanik

$\displaystyle E_{M}=E_{p}+E_{k}=-G\frac{Mm}{2R}$

$E_{p}<E_{k}$

$E_{m}<E_{k}$
Jawaban A (1 dan 3 benar)
9. Soal

Sebuah roket bermassa m bergerak ke atas permukaan planet bermassa M berjari - jari R dengan kecepatan awal  $\frac{1}{2}$ kali kecepatan lepas. Tinggi maksimum roket dari permukaan planet adalah? (UM UGM 2017)

A. $\displaystyle \frac{4}{3}R$
B. $\displaystyle R$
C. $\displaystyle \frac{2}{3}R$

D. $\displaystyle \frac{1}{2}R$

E. $\displaystyle \frac{1}{3}R$
Pembahasan
Diketahui
$v_{lepas}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$
Tinggi maksimum roket dari permukaan planet (h)
$r_{1}=R$
$r_{2}=R+h$

$v_{1}=\frac{1}{2}v_{lepas}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

$v_{2}=0$
berlaku hukum kekekalan energi

\begin{aligned} E_{p1}+E_{k1}&=E_{p2}+E_{k2}\\ -G\frac{Mm}{R}+\frac{1}{2}mv_{1}^{2}&= -G\frac{Mm}{R+h}+0\\ -G\frac{Mm}{R}+\frac{1}{2}m\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2GM}{R}}\right)^{2}&=-G\frac{Mm}{R+h}\\ -G\frac{Mm}{R}+\frac{1}{4}G\frac{Mm}{R}&=-G\frac{Mm}{R=h}\\ -\frac{1}{R}+\frac{1}{4R}&=-\frac{1}{R+h}\\ \frac{1}{R}-\frac{1}{4R}&=\frac{1}{R+h}\\ \frac{3}{4R}&=\frac{1}{R+h}\\ 4R&=3R+3h\\ 3h&=R\\ h&=\frac{R}{3}\end{aligned}
Jawaban E
10. Soal

Sebuah terowongan yang lurus digali pada planet berbentuk bola yang kerapatan massa $\rho_{o}$ konstan. Terowongan itu melewati pusat planet dan tegak lurus terhadap sumbu rotasi planet, yang tetap dalam ruang. Planet berputar dengan kecepatan sudut $\omega$ sedemikian rupa sehingga benda benda dalam terowongan tidak memiliki percepatan relatif terhadap terowongan. Hitunglah nilai $\omega$? (UTUL UGM 2017)

A. $\displaystyle \left(\frac{4}{3}G\pi \rho_{o}\right)^{\frac{1}{2}}$
B. $\displaystyle \left(\frac{2}{3}G\pi \rho_{o}\right)^{\frac{1}{2}}$

C. $\displaystyle \left(\frac{4}{3}G\pi \right)^{\frac{1}{2}}\rho_{o}$

D. $\displaystyle \left(\frac{2}{3}G\pi \right)^{\frac{1}{2}}\rho_{o}$
E.  $\displaystyle \frac{1}{4}G\pi \rho_{o}^{2}$
Pembahasan

Benda tidak memiliki percepatan relatif ( a linear = 0)

\begin{aligned} F_{G}&=F_{sp}\\ G\frac{Mm}{R^{2}}&=m\omega^{2}R\\ GM&=\omega^{2}R^{3}\\ G\rho V&=\omega^{2}R^{3}\\ G\rho \frac{4\pi}{3}R^{3}&=\omega^{2}R^{3}\\ \omega&=\sqrt{\frac{4\pi}{3}G\rho}\\ \omega&=\left(\frac{4}{3}G\pi \rho \right)^{\frac{1}{2}}\end{aligned}           

Jawaban A
11. Soal

Satelit Helios 1 dan Helios 2 mengorbit Bumi dengan perbandingan jari - jari orbitnya 4 : 9 serta perbandingan massa Helios 1 dan Helios 2 adalah 4 : 9. Jika lintasan orbit satelit tersebut melingkar, maka perbandingan periode satelit Helios 1 dan Helios 2 adalah? (UN 2019)

A. 4 : 9

B. 4 : 27

C. 8 : 27

D. 27 : 4

E. 27 : 8

Pembahasan

Diketahui

Gravitasi Newton

\begin{aligned} \frac{R_{1}}{R_{2}}&=\frac{4}{9}\\ \frac{M_{1}}{M_{2}}&=\frac{4}{9}\end{aligned}

Perbandingan periode satelit Helios 1 dan Helios 2

\begin{aligned} \left(\frac{T_{1}}{T_{2}} \right)^{2}&=\left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{3}\\ \left(\frac{T_{1}}{T_{2}} \right)^{2}&=\left(\frac{4}{9}\right)^{3}\\ \frac{T_{1}}{T_{2}}&=\sqrt{\left(\frac{4}{9}\right)^{3}}\\ \frac{T_{1}}{T_{2}}&=\frac{8}{27}\end{aligned}

Jawaban C

12. Soal

Bila diketahui jarak bumi dan bulan adalah 380.000 km dan jari - jari bumi adalah 6400 km, maka kecepatan minimum yang dibutuhkan bulan untuk lepas dari pengaruh gravitasi bumi adalah?. . . . m/s
A. 1453
B. 145,3
C. 14,53
D. 1,453
E. 0,1453
Pembahasan
Diketahui:
$r\;=\;380.000\times 10^{3}m$
$R\;=\;6400\times 10^{3}m$
$v_{lepas}= . . . . . ?$
maka
\begin{aligned} v_{lepas} &=R\sqrt {\frac {2g}{r}}\\ v_{lepas} &=6400\times 10^{3}\sqrt {\frac {2(10)}{380.000\times 10^{3}}}\\ v_{lepas} &=\frac {6400\times 10^{3}}{\sqrt {19\times 10^{6}}}\\ v_{lepas} &=1453\; m/s \end{aligned}
Jawaban A