Pembahasan Soal Relativitas

Solusi Soal Relativitas
1. Soal
Menurut pengmat di bumi, panjang pesawat ruang angkasa tinggal 3/4 dari panjang semula. Laju pesawat tersebut adalah ( dengan c adalah laju cahaya dalam vakum) (SBMPTN 2014)
A. $\frac{1}{4}\sqrt{7}\, \, c$
B. $\frac{2}{3}\, \, c$
C. $\frac{1}{5}\sqrt{7}\, \, c$
D. $\frac{1}{2}\, \, c$
E. $\frac{1}{6}\sqrt{7}\, \, c$
Pembahasan
L = 3/4 Lo
$L=L_{o}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$
$\frac{3}{4}L_{o}=L_{o}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$
   $\frac{3}{4}=\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$
   $\frac{9}{16}=1-\frac{v^{2}}{c^{2}}$
   $\frac{v^{2}}{c^{2}}=1-\frac{9}{16}$
   $\frac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{7}{16}$
   $v^{2}=\frac{7}{16}c^{2}$
   $v=\frac{\sqrt{7}}{4}c$
Jawaban A
2. Soal
Pengamat pertama dan pengamat kedua mengukur bahawa kecepatan sebuah partikel berturut - turut sama dengan $v_{1}$ dan   $v_{2}$ . Jika $m_{1}$ dan $m_{2}$ berturut - turut adalah massa partikel menurut pengamat pertama dan kedua, maka .... (SBMPTN 2016)
A. $m_{1}^{2}(c^{2}-v_{2}^{2})=m_{2}^{2}(c^{2}-v_{1}^{2})$
B. $m_{2}^{2}(c^{2}-v_{1}^{2})=m_{1}^{2}(c^{2}-v_{2}^{2})$
C. $m_{1}^{2}(c^{2}-v_{1}^{2})=m_{2}^{2}(c^{2}-v_{2}^{2})$
D. $m_{1}^{2}(c^{2}+v_{1}^{2})=m_{2}^{2}(c^{2}-v_{2}^{2})$
E. $m_{1}^{2}(c^{2}-v_{1}^{2})=m_{2}^{2}(c^{2}+v_{2}^{2})$
Pembahasan

Sebuah partikel diamati oleh dua pengamat, maka massa diam partikel sama
$m=\frac{m_{o}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$
$m_{o}=m\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$
maka

$m_{o1}=m_{o2}$
$m_{1}\sqrt{1-\frac{v_{1}^{2}}{c^{2}}}=m_{2}\sqrt{1-\frac{v_{2}^{2}}{c^{2}}}$
$m_{1}^{2}(c^{2}-v_{1}^{2})=m_{2}^{2}(c^{2}-v_{2}^{2})$
$m_{1}^{2}(1-\frac{v_{1}^{2}}{c^{2}})=m_{2}^{2}(1-\frac{v_{2}^{2}}{c^{2}})$
$m_{1}^{2}(c^{2}-v_{1}^{2})=m_{2}^{2}(c^{2}-v_{2}^{2})$
Jawaban C
3. Soal

Waktu paruh $\pi +$ meson dalam keadaan diam adalah $2,5 \times 10^{-8}$ sekon. Sejumlah $\pi +$ meson yang diproduksi pada jarak 15 m dari detektor, ternyata hanya setengahnya yang mampu mencapai detektor. Laju $\pi +$ meson tersebut adalah

A. 0,5 c

B. $c\sqrt{\frac{2}{5}}$
C. $c\frac{2}{\sqrt{5}}$
D. c
E. 2c

Pembahasan

diketahui
$t_{o}=T=2,5\times 10^{-8}$ s
maka

$t=\frac{t_{o}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

$\frac{s}{v}=\frac{t_{o}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

$\frac{15}{v}=\frac{2,5\times 10^{-8}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

$36\times 10^{16}=\frac{v^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{^{2}}}}$

$1-\frac{v^{2}}{c^{^{2}}}=\frac{v^{2}}{36\times 10^{16}}$
$1-\frac{v^{2}}{(3\times 10^{8})^{2}}=\frac{v^{2}}{36\times 10^{16}}$
$1-\frac{v^{2}}{9\times 10^{16}}=\frac{v^{2}}{36\times 10^{16}}$

$1=\frac{5v^{2}}{36\times 10^{16}}$

$v^{2}=\frac{36\times 10^{16}}{5}$
$v=\sqrt{\frac{36\times 10^{16}}{5}}$
$v=\frac{6\times 10^{8}}{5}$
$v=\frac{36\times 10^{16}}{\sqrt{5}}$
$v=\frac{2c}{\sqrt{5}}$

4. Soal

Menurut teori relativitas khusus, pegas yang sedang di tekan massanya lebih besar dari pada massa pegas yang tidak ditekan.

SEBAB

Pegas yang sedang ditekan sejauh x akan memiliki energi potensial sebesar $\frac{1}{2}kx^{2}$ sehingga perbedaan massa pegas di tekan dengan pegas tidak ditekan adalah $U/c^{2}$ . (SIMAK UI 2010)
Pembahasan
Pernyataan dan alasan salah karena relativitas khusus membahas benda yang bergerak mendekati kecepatan cahaya.
Jawaban E
5. Soal
Jika energi total sebuah partikel bermassa m sama dengan dua kali energi diamnya, maka besar momentum relativistik partikel itu ialah (SIMAK UI 2010)
A. mc/2
B. $mc/\sqrt{2}$
C. mc
D. $mc\sqrt{3}$
E. 2mc

Pembahasan

Diketahui
m = massa benda diam

$E=2E_{o}$
Momentum relativitas (p)
$E^{2}=E_{o}^{2}+p^{2}c^{2}$
$(2E_{o})^{2}=E_{o}^{2}+p^{2}c^{2}$
$4E_{o}^{2}=E_{o}^{2}+p^{2}c^{2}$ $3E_{o}^{2}=p^{2}c^{2}$
$p=\sqrt{3}\frac{E_{o}}{c}$
$p=\sqrt{3}\, mc$
Jawaban D
6. Soal

Sebuah partikel mempunyai energi relativistik total 10 GeV dan momentum relativistik 8 GeV/c. Massa diam partikel itu ialah (SIMAK UI 2010)

A. 0,25 $GeV/c^{2}$
B. 1,20 $GeV/c^{2}$
C. 2,00 $GeV/c^{2}$
D. 6,00 $GeV/c^{2}$
E. 16,0 $GeV/c^{2}$
Pembahasan

Diketahui
E = 10 GeV
p = 8 GeV/c
Massa diam , $m_{o}=.....?$
$E^{2}=E_{o}^{2}+p^{2}c^{2}$
$10^{2}=E_{o}^{2}+\left (\frac{8}{c} \right )^{2}c^{2}$
$100=E_{o}^{2}+64$
$E_{o}^{2}=36$
$E_{o}=6$
$m_{o}c^{2}=6$
$m_{o}=6/c^{2}\, GeV$
Jawaban D

7. Soal

Momentum suatu elektron awalnya sama dengan mc. Untuk memperkecil panjang de Broglie elektron ini agar menjadi setengah dari semula maka energi total elektron tersebut harus menjadi? (UM UGM 2018)

A. $\sqrt{2}\, mc^{2}$

B. $\sqrt{3}\, mc^{2}$

C. $\sqrt{4}\, mc^{2}$

D. $\sqrt{5}\, mc^{2}$

E. $\sqrt{6}\, mc^{2}$

Pembahasan

Diketahui

p = mc
$\lambda _{2}=\frac{1}{2}\lambda$
Hipotesis De Broglie
$\lambda =\frac{h}{p}$
$\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} =\frac{p_{2}}{p_{1}}$
$\frac{\lambda}{\frac{1}{2}\lambda} =\frac{p_{2}}{p}$
$p_{2}=2p$
maka energi totalnya menjadi
$E_{2}^{2}=E_{o2}^{2}+p_{2}^{2}c^{2}$
$E_{2}^{2}=E_{o}^{2}+(2p)^{2}c^{2}$
$E_{2}^{2}=E_{o}^{2}+(2m_{o}c)^{2}c^{2}$
$E_{2}^{2}=m_{o}^{2}c^{4}+4m_{o}^{2}c^{4}$
$E_{2}^{2}=5m_{o}^{2}c^{4}$
$E_{2}=\sqrt{5}m_{o}c^{2}$
Jawaban D

8. Soal
Usaha yang harus dilakukan untuk menaikkan kecepatan sebuah partikel bermassa m dari 0,6 c menjadi 0,8 c adalah sebesar ( UM UGM 2018)
A. $\frac{10}{48}\, mc^{2}$
B. $\frac{10}{24}\, mc^{2}$
C. $\frac{10}{12}\, mc^{2}$
D. $\frac{1}{24}\, mc^{2}$
E. $\frac{1}{12}\, mc^{2}$

Pembahasan

Diketahui

$v_{o}=0,6c$ maka $\gamma _{o}=\frac{10}{8}$

$v _{t}=0,8c$ maka $\gamma _{t}=\frac{10}{6}$

Usaha (W)

$W=\Delta Ek=E_{k_{akhir}}-E_{k_{awal}}$

$W=\left ( \gamma _{t}-\gamma _{o} \right )E_{o}$

$W=\left (\frac{10}{6}-\frac{10}{8} \right )E_{o}$

$W=\frac{10}{24}E_{o}$
$W=\frac{10}{24}mc^{2}$
Jawaban B

9. Soal

Pada sebuah dinding tegak terdapat gambar sebuah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 3 m. Seandainya gambar tersebut dilihat oleh orang yang sedang berada di pesawat yang bergerak sejajar dengan dinding dengan kecepatan 0,6 c, maka luas segitiga tersebut adalah? (SBMPTN 2017)

A. $\sqrt{3}\, m^{2}$

B. $1,8\sqrt{2}\, m^{2}$

C. $1,8\sqrt{3}\, m^{2}$

D. $2,4\sqrt{3}\, m^{2}$

E. $3\sqrt{3}\, m^{2}$

Pembahasan

Diketahui
Segitiga sama sisi

$A_{o}=\frac{1}{2}\times 3\times \frac{3}{2}\sqrt{3}$

$A_{o}=\frac{9}{4}\sqrt{3}$

$v=0,6c$

Luas segitiga menurut pengamat yang bergerak
$A=A_{o}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$
$A=\frac{9}{4}\sqrt{3}\sqrt{1-\frac{(0,6c)^{2}}{c^{2}}}$
$A=\frac{9}{4}\sqrt{3}\left (\frac{8}{10} \right )$
$A=1,8\sqrt{3}\, cm^{2}$
Jawaban C

10. Soal
Dua pesawat terbang yang cukup canggih menempuh jalur terbang yang sama berupa sabuah garis lurus. Pesawat pertama memiliki kecepatan 0,8 c terhadap bumi, sedangkan pesawat kedua bergerak berada di belakang pesawat pertama. Jika sebuah benda bergerak lurus sejajar dengan kedua pesawat itu dan berkecepatan 0,5 c terhadap pesawat pertama dan 0,89 c terhadap pesawat kedua, maka kecepatan pesawat kedua terhadap bumi adalah? (SBMPTN 2017)
A. 0,10 c
B. 0,20 c
C. 0,30 c
D. 0,40 c
E. 0,50 c

Pembahasan

Diketahui
A = pesawat pertama
B = pesawat kedua
P = pengamat di bumi
C = benda
$v_{AP}=0,8c$

$v_{CA}=0,5c$
$v_{CB}=0,89c$
$v_{BP}=.....?$
Kecepatan pesawat kedua terhadap pesawat pertama
$v_{BA}=\frac{v_{BC}+v_{CA}}{1+\frac{v_{BC}.v_{CA}}{c^{2}}}$
$v_{BA}=\frac{-0,89c+0,5c}{1+\frac{-0.89c.0,5c}{c^{2}}}$
$v_{BA}=\frac{-0,49c}{1-0,445}$
$v_{BA}=\frac{-0,49c}{0,555}$
$v_{BA}=-0,88c$
Kecepatan pesawat kedua terhadap pengamat dibumi
$v_{BP}=\frac{v_{BA}+v_{AP}}{1+\frac{v_{BA}.v_{AP}}{c^{2}}}$

$v_{BP}=\frac{-0,88c+0,8c}{1+\frac{-0,88c.0,8c}{c^{2}}}$
$v_{BP}=-0,27c$
Jawaban C
11. Soal

Seorang pengamat bergerak dengan kecepatan 0,6 c menyusur permukaan Bumi dengan c adalah cepat rambat cahaya dalam ruang hampa. Pengamat itu melewati sebuah lingkaran dengan jari - jari 1 m. Bangun geometris itu jika dilihat oleh orang yang diam di Bumi berupa elips dengan jarak antar titi api....(UTUL UGM 2019)

A. 0,64 m

B. 0,75 m

C. 1,50 m

D. 1,60 m

E. 1,82 m

Pembahasan
Diketahui

v = 0,6 c
maka:

   $a=a_{o}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c_{2}}}$
   $1=a_{o}\sqrt{1-\frac{(0,6c)^{2}}{c_{2}}}$
   $1=0,8a_{o}$
$a_{o}=\frac{1}{0,8}=1,25\, m$
Jarak fokus elips (f)
$f=\sqrt{a_{o}^{2}-b_{o}^{2}}$
$f=\sqrt{1,25^{2}-1^{2}}$
$f=0,75\, m$
Jarak antar fokus elips = 2f = 2 (0,75) = 1,5 m
Jawaban C
12. Soal

Massa suatu benda yang sedang bergerak menurut pengamat yang diam di bumi bertambah 25% dari massa diamnya. Bila c = kelajuan cahaya dalam ruang hampa, maka kecepatan gerak benda tersebut adalah . . . .

A. 0,3 c

B. 0,4 c

C. 0,6 c

D. 0,8 c

E. 1,25 c

Pembahasan

Diketahui

Relativitas

$m=1,25m_{o}=\frac{5}{4}m_{o}$

Relativitas massa

$m=\frac{m_{o}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

$\frac{5}{4}m_{o}=\frac{m_{o}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

$\frac{5}{4}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

$\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=\frac{4}{5}$

$1-\frac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{16}{25}$

$\frac{v^{2}}{c^{2}}=1-\frac{16}{25}$

$\frac{v^{2}}{c^{2}}=\frac{9}{25}$

$v=\frac{3}{5}c$

Jawaban C

13. Soal

Di suatu tempat vakum udara benda yang berukuran sangat kecil dengan massa diam sebesar m_oditembakkan sehingga bergerak dengan kecepatan 0,8 c. Energi total dan energi kinetik benda tersebut sebesar?

A. 5/3 $m_{o}c^{2}$ dan 2/3 $m_{o}c^{2}$

B. 2/3 $m_{o}c^{2}$ dan 5/3 $m_{o}c^{2}$

C. 3/5 $m_{o}c^{2}$ dan 4/5 $m_{o}c^{2}$

D. 4/5 $m_{o}c^{2}$ dan 3/5 $m_{o}c^{2}$

E. 1/3 $m_{o}c^{2}$ dan 2/3 $m_{o}c^{2}$

Pembahasan

Diketahui

v = 0,8 c

m_{o = massa benda diam}

_{Energi Total Relativitas}

$E=\frac{E_{o}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$
$E=\frac{m_{o}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{\left (0,8c \right )^{2}}{c^{2}}}}$
$E=\frac{m_{o}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{0,64c^{2}}{c^{2}}}}$
$E=\frac{m_{o}c^{2}}{\sqrt{0,36}}$
$E=\frac{m_{o}c^{2}}{0,6}$
$E=\frac{5}{3}m_{o}c^{2}$
Energi Kinetik Relativitas

$E_{k}=E-E_{o}$
$E_{k}=\frac{5}{3}E_{o}-E_{o}$
$E_{k}=\frac{2}{3}E_{o}$
$E_{k}=\frac{2}{3}m_{o}c^{2}$
Jawaban A

14. Soal
Sebuah benda bermassa $m_{o}$ . Usaha yang diperlukan agar partikel tersebut memiliki energi total 1,5 $m_{o}c^{2}$ dari keadaan diam adalah? ... $m_{o}c^{2}$ (c = cepat rambat cahaya di ruang vakum)
A. 1,50
B. 1,25
C. 1,00
D. 0,75
E. 0,50
Pembahasan
Diketahui:
$E_{total\left ( awal \right )}=0$
$E_{total\left ( akhir \right )}=1,5\, \, m_{o}c^{2}$
Maka:
$W=E_{tot\left ( akhir \right )}-E_{tot\left ( awal \right )}$
$W=E_{total\left ( akhir \right )}-E_{total\left ( awal \right )}$
$W=1,5m_{o}c^{2}-0=1,5\, \, m_{o}c^{2}$
Jawaban A
15. Soal
Suatu jalan lurus sepanjang 10.000 m dilihat dari dalam pesawat yang melaju dengan kecepatan 0,6 c berarah membentuk sudut $37^{\circ }$ terhadap jalan tersebut. Berapakah panjang jalan tersebut menurut awak pesawat?
A. 4800 m
B. 6000 m
C. 6400 m
D. 8000 m
E. 8773 m
Pembahasan
Diketahui

Bagian yang menyusut adalah bagian yang sejajar dengan arah gerak