Pembahasan Soal Gelombang Mekanik dan Stasioner

Solusi Soal Gelombang Mekanik dan Stasioner

1. Soal

Sebuah tali digetarkan dengan frekuensi 5 Hz menghasilkan gelombang beramplitudo 12 cm dan kelajuan gelombang 20 m/s. Dari pernyataan berikut yang sesuai dengan gelombang yang dihasilkan oleh getaran  tali adalah...(SNMPTN 2007)

(1) Frekuensi angular gelombang 31,4 rad/s

(2) Panjang gelombang 6 m

(3) Persamaan gelombang $y=0,12\; sin\;2\pi (0,25x-5t)m$

(4) Angka gelombang 1,57 /m

Pembahasan

Maka:

(1) $\omega =2\pi f=2(3,14)(5)=31,4\;rad/s$

(2) $\lambda =\frac{v}{f}=\frac{20}{5}=4\;m$

(3) \begin{aligned}y&=A\; sin\;(\omega t-kx)\\ y&= 0,12\;sin(10\pi t-\frac{1}{2}\pi x\\ y&=0,12\;sin 2\pi (5t-\frac{1}{4}x)\end{aligned}

(4) $k=\frac{2\pi }{\lambda}=\frac{2\pi }{4}=1,57\; /m$

Jawaban D

2. Soal

Persamaan gelombang tranversal yang merambat sepanjang tali yang sangat panjang dapat dinyatakan dengan persamaan $y=6\sin\;(0,02\pi x+4\pi t)$ dengan y dan x dalam cm serta t dalam sekon. Ini berarti bahwa ..... (SNMPTN 2008)

(1) Amplitudo gelombangnya adalah 6 cm

(2) Panjang gelombangnya 1 m

(3) Frekuensi gelombangnya adalah 2 Hz

(4) Penjalaran gelombangnya adalah ke arah sumbu x positif

Pembahasan

Maka:

$y=6\;sin(0,02\pi x+4\pi t)$

$y=A\;sin(kx+\omega t)$

Pernyataan

(1) $A = 6 \;cm$

(2)  Panjang gelombang

\begin{aligned}k&=\frac{2\pi}{\lambda}\\ 0,02\pi&=\frac{2\pi}{\lambda}\\ \lambda&=\frac{2\pi}{0,02\pi}\\ \lambda&=100\;cm\\ \lambda&= 1\;m\end{aligned}

(3) Frekuensi

\begin{aligned} \omega&=2\pi f\\ 4\pi&=2\pi f\\ f&=2\;Hz\end{aligned}

(4) arah rambat gelombang ke sumbu x negatif

Jawaban A

3. Soal

Gelombang berjalan memiliki persamaan:

$y(x,t)=0,008\;sin(10\pi x-8\pi t)$

dimana y dan x dalam meter dan t dalam detik. Pernyataan yang BENAR adalah . . . . (SIMAK UI 2012)
1) Kecepatan gelombang adalah 0,8 m/detik
2) Frekuensi gelombang 4 Hz
3) Panjang gelombang adalah 0,2 m
4) Simpangan pada titik 10 m dan waktu 100 detik adalah 0,004 m
Pembahasan
Diketahui
$y(x,t)=0,008\;sin(10\pi x-8\pi t)$ sesuai dengan persamaan $y=A\;sin(kx-\omega t)$
maka:
A = 0,008 m
1. Cepat rambat gelombang (v)
 \begin{aligned}v&=\frac{koef \; t}{koef\;x}\\ v&=\frac{8\pi}{10\pi}\\ v&=0,8\;m/s\end{aligned}
2. Frekuensi ( f )

\begin{aligned}\omega&=2\pi f\\ 8\pi&=2\pi f\\ f&=4\;Hz\end{aligned}
3. Panjang gelombang

\begin{aligned} k&=\frac{2\pi}{\lambda}\\ \lambda&=0,2\;m\end{aligned}
4. Simpangan (y)
    t = 100 s dan x = 10 m

\begin{aligned} y&=0,08 (100\pi -800\pi)\\ y&=0,08(-700\pi)\\ y&=0\;m\end{aligned}
Jawaban A
4. Soal

Suatu gelombang sinusidal bergerak dalam arah x - positif, mempunyai amplitudo 15,0 cm panjang gelombang 40,0 cm dan frekuensi 8,0 Hz. Jika posisi vertikal dari elemen medium pada t = 0 dan x = 0 adalah 15,0 cm, maka bentuk umum fungsi gelombangnya adalah? (x dalam cm dan t dalam sekon) (SBMPTN 2014)

A. $y=(15\;cm)sin(0,157x+50,3t-\frac{\pi}{2})$
B. $y=(15\;cm)sin(0,157x-50,3t+\frac{\pi}{2})$

C. $y=(15\;cm)sin(0,157x+50,3t+\frac{\pi}{2})$
D. $y=(15\;cm)cos(0,157x-50,3t)$
E. $y=(15\;cm)cos(0,157x+50,3t)$
Pembahasan
Diketahui
$A = 15\; cm$
$\lambda= 40\;cm$
$f= 8\; Hz$
pada saat t = 0 s dan x = 0 m nilai y = 15 cm maka sudut fase awal ($\theta_{o}=90^{\circ}$)
Nilai kecepatan sudut

$\omega=2\pi f$
$\omega=2\pi 8=16\pi\; rad/s$
Nilai bilangan gelombang
$k=\frac{2\pi}{\lambda}$
$k=\frac{2\pi}{40}=0,05\pi/m$
gelombang merambat ke sumbu x(+)
maka persamaan gelombang memenuhi

$y=A\;sin(\omega t-kx+\theta_{o}$

$y=15\;sin(16\pi t-0,05\pi x+90^{\circ}$
inget sifat trigonometri  $y=sin(90+\alpha)=cos\; \alpha$
$y=15\;cos(16\pi t-0,05\pi x)$
inget juga  $y=cos\;\alpha =cos (-\alpha)$
$y=(15\;cm)cos(0,05\pi x-16\pi t)$

$y=(15\;cm)cos(0,157x-50,3t)$
Jawaban D
5. Soal
Dua benda masing - masing menjalani gerak harmonis sederhana dengan persamaan masing - masing 
$y_{1}=8\;sin\;100t$ dan $y_{2}=6\;sin\; \left(10t-\frac{\pi}{2}\right)$
dengan x dan y dalam cm sedangkan t dalam setik, besar amplitudo superposisi dari kedua getaran adalah? (SPMB 2007)
A. 14 cm
B. 10 cm
C. 8 cm
D. 6 cm
E. 2 cm
Pembahasan
Terdapat 2 getaran yang memiliki beda fase  π/2 maka kedua getaran saling tegak lurus.

\begin{aligned}A_{total}&=\sqrt{A_{1}^{2}-A_{2}^{2}}\\ A_{total}&=\sqrt{8^{2}+6^{2}}\\ A_{total}&=10\; cm\end{aligned}
Jawaban B
6. Soal
Gelombang bunyi dari sumber $S_{1}$  dan $S_{2}$ menimbulkan simpangan di tiitk P sbb:
$y_{1}=A\;cos(kr_{1}-\omega t)$
$y_{2}=A\;cos(kr_{2}-\omega t)$
dengan laju bunyi 350 m/s, frekuensi f = 700 Hz. Maka : (UMPTN 2001)
1) panjang gelombang bunyi tersebut 0,5 m
2) interferensi konstruktif terjadi bila  $r_{2}-r_{1}=1,5\;m$ 
3) intrferensi minimum di P terjadi bila $r_{2}-r_{1}=1,25\;m$

4) intensitas maksimum di $P=2A^{2}$
Pembahasan
Diketahui

$v=350\;m/s$
$f=700\;Hz$

1) Panjang gelombang
$\lambda =\frac{v}{y}=\frac{350}{700}=0,5\;m$

2) Interferensi konstruktif
     pola: $1\lambda, \; 2\lambda,\; 3\lambda,\; dst$
    maka 1,5 m adalah interferensi kontruktif
3) Interferensi minimum
     pola: 0,5, 1,5, 2,5 dst
     maka 1,25 m adalah interferensi minium
4)Intensitas maksimum

\begin{aligned}I&=\frac{P}{A}\\ I&=\frac{E}{4\pi r^{2}t}\\ I&=\frac{\frac{1}{2}kA^{2}}{4\pi r^{2}t}\\ I&\sim A_{s}^{2}\\ I&\sim (2A)^{2}\\ I&\sim 4A^{2}\end{aligned}

Jawaban A
7. Soal
Sebuah gelombang pada tali menjalar dengan persamaan : $y=0,12\;sin (\frac{\pi}{8}x+4\pi t)$ , x dalam meter dan t dalam detik. Persamaan tersebut mempunyai pengertian bahwa . . .

(1) persamaan kecepatan gelombangnya 

       $v=\frac{dy}{dt}=(0,12)(4\pi) cos (\frac{\pi}{8}x+4\pi t)$
(2) kecepatan maksimum gelombang
       $v_{max}=0,48\pi \; m/s$
(3) persamaan percepatan gelombang
       $a=(-0,12)(4\pi)^{2}sin(\frac{\pi}{8}x+4\pi t)$
(4) percepatan maksimum gelombang
      $a=1,92\pi ^{2}\; m/s^{2}$ 
Pembahasan
Diketahui
simpangan ke kecepatan diferensialkan
kecepatan ke percepatan diferensialkan
\begin{aligned} y&=0,12\;sin (\frac{\pi}{8}x+4\pi t)\\ v&=\frac{dy}{dt}=(0,12)(4\pi)cos(\frac{\pi}{8}x+4\pi t)\\ a&=(-0,12)(4\pi)^{2}sin(\frac{\pi}{8}x+4\pi t)\end{aligned}
v maksimum cos sudut bernilai 1

$v=0,48\pi\;m/s$
a maksimum sin sudut bernilai 1
$a=1,92\pi^{2}\;m/s^{2}$
Jawaban E
8. Soal

Gambar di atas merupakan gelombang yang merambat pada seutas tali. Gelombang yang tampak pada gambar terjadi setelah sumber gelombang bergetar selama 6 detik. Pernyataan yang BENAR terkait dengan gelombang tersebut adalah . . . .

(1) Frekuensi gelombang adalah 2 Hz
(2) Cepat rambat gelombang adalah 0,3 m/s
(3) Persamaan simpangan adalah

$y=0,6\;sin\;2\pi(2t-\frac{x}{0,6})$
(4) Simpangan di titik yang berjarak 90 cm adalah 0
Pembahasan
Diketahui
n = 3
x = 1,8 m
A = 0,6 cm
t = 6 sekon
1) Frekuensi (f)

$f=\frac{n}{t}=\frac{3}{6}=0,5\;Hz$
2) Cepat rambat gelombang

$v=\frac{x}{t}=\frac{1,8}{6}=0,3\;m/s$
3) Persamaan
$\omega = 2\pi f=2\pi (0,5)=\pi \; rad/s$ 
$\lambda = \frac{x}{n}=\frac{1,8}{3}=0,6\; m$    
$k=\frac{\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0,6}=\frac{10\pi}{3}/m$
    maka :
     $y= A\;sin (kx-\omega t)$
     $y=6\;sin (\pi t-\frac{10\pi}{3}x)$
4) jika x = 90 cm = 0,9 m dan t = 6 sekon, maka:

\begin{aligned}y&=6\; sin (\pi t-\frac{10\pi}{3}x)\\ y&=6\;sin (\pi (6)-\frac{10\pi}{3}(0,9))\\ y&=6\;sin (3\pi)\\ y&=0\;cm\end{aligned}

Jawaban C (2 dan 4)
9. Soal
Gelombang berjalan pada tali dapat dinyatakan dalam persamaan berikut:
$y=2\;sin (20\pi t-10\pi x)$ dengan y dalam cm, t dalam detik dan x dalam meter, pernyataan berikut yang betul adalah? (UM UNDIP 2008)
(1) frekuensi gelombang tersebut 10 Hz
(2) panjang gelombangnya 20 cm
(3) cepat rambat gelombang tersebut adalah 2 m/s
(4) dua titik yang berjarak 50 cm adalah sefase
Pembahasan
Diketahui persamaan gelombang berjalan
$y=2\;sin(20\pi t- 10\pi x)$ sesuai dengan persamaan $y = A sin (\omega t -kx)$
diperoleh
$A = 2\; cm$
$\omega = 20\pi \; rad/s$
$k=10\pi \; /m$
1) frekuensi gelombang
     $f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{20\pi}{2\pi}=10\;Hz$
2) panjang gelombang
     $\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{10\pi}=0,2\;m$
3) cepat rambat gelombang
     $v=\frac{koef.\; t}{koef.\;x}=\frac{20\pi}{10\pi}=2\; m/s$
4) dua titik yang sefase jika berjarak 1, 2 dst
    1 = 0,2 m = 20 cm
    2 = 0,4 m = 40 cm
Jawaban A (1,2,3)
10. Soal

Suatu gelombang stasioner memenuhi $y=10sin(0,2\pi x)cos(80\pi t) cm$ , dengan x dalam centimeter dan t dalam sekon. Pernyataan di bawah ini yang benar adalah? (SNMPTN 2012)

1) besar amplitudo tetap 10 cm
2) pada x = 5 cm dari ujung tetap terjadi amplitudo minimum
3) panjang gelombang adalah 1 cm
4) frekuensi gelombang adalah 40 Hz
Pembahasan

Diketahui persamaan gelombang stasioner ujung terikat

$y=10sin(0,2\pi x)cos(80\pi t) cm$

$y=2Asin(kx)cos(\omega t)$

1) Amplitudo

$2A=10\;cm$

$A=5\; cm$

2) Pada jarak x = 5 cm

$A_{s}=10sin(0,2\pi x)$

$A_{s}=10sin(0,2\pi (5))$

$A_{s}=10sin(\pi)$

$A_{s}=0\; cm$

3) panjang gelombang

\begin{aligned} k&=\frac{2\pi}{\lambda}\\ \lambda &=\frac{2\pi}{k}\\ \lambda &=\frac{2\pi}{0,2\pi}\\ \lambda &=10\; m \end{aligned}

4) frekuensi gelombang (f)

\begin{aligned} \omega &=80\pi \; rad/s\\ 2\pi f &=80\pi \\ f&=40\; Hz \end{aligned}

Jawaban C (2 dan 4)

11. Soal
Suatu gelombang stasioner mempunyai $y=\;0,2cos(5\pi x)sin(10\pi t)$ (y dan x dalam meter dan t dalam sekon). Pernyataan yang BENAR adalah

(1) jarak antara perut dan simpul yang berurutan adalah 0,1 m
(2) frekuensi gelombangnya adalah 5 Hz
(3) panjang gelombangnya 0,4 m
(4) kecepatan gelombang 1 m/s
Pembahasan

Diketahui persamaan gelombang stasioner ujung bebas

$y=\;0,2cos(5\pi x)sin(10\pi t)$

$y=2Acos(kx)sin(\omega t)$

maka :

$2A= 0,2\; m$

$A= 0,1\;n$

$k=\;5\pi\; /m$

$\omega=\; 10\pi\; rad/s$

maka: 

1) jarak perut ke simpul adalah

 $P-S=\frac{1}{4}\lambda=\frac{1}{4}(0,4)=0,1\; m$

2) frekuensi gelombang (f)

\begin{aligned} \omega &=10\pi \; rad/s\\ 2\pi f &=10\pi \\ f&=5\; Hz \end{aligned}

3) panjang gelombang

\begin{aligned} k&=\frac{2\pi}{\lambda}\\ \lambda &=\frac{2\pi}{k}\\ \lambda &=\frac{2\pi}{5\pi}\\ \lambda &=0,4\; m \end{aligned}

4) kecepatan rambat gelombang (v)

$v=\frac{koef. t}{koef. x}=\frac{10\pi}{5\pi}=2\; m/s$

Jawaban A(1,2 dan 3) 

12. Soal

Sebuah gelombang tranversal menjalar dengan laju $v$ pada sebuah tali yang memiliki tegangan tali T. Berapakah tegangan tali yang diperlukan agar gelombang menjalar dengan laju $\frac{2v}{3}$ ? (UTUL UGM 2019)

A. $\frac{9}{4}T$

B. $\frac{5}{4}T$

C. $\frac{11}{9}T$

D. $\frac{7}{9}T$

E. $\frac{4}{9}T$

Pembahasan
Diketahui
Gelombang

$F_{1}= T$

$v_{1}=v$

$v_{2}=\frac{2v}{3}$
$F_{2}= . . . . ?

v = kelajuan gelombang tranversal pada tali

$v=\sqrt{\frac{FL}{m}}$
$v\sim \sqrt{T}$
maka:

\begin{aligned}\frac{v_{1}}{v_{2}}&=\sqrt{\frac{F_{1}}{F_{2}}}\\ \frac{v}{2/3\;v}&=\sqrt{\frac{T}{F_{2}}}\\ \frac{9}{4}&=\frac{T}{F_{2}}\\ F_{2}&=\frac{4}{9}T \end{aligned}
Jawaban E
13. Soal

Dua buah gelombang masing - masing merambat dengan persamaan simpangan

$y_{1}=0,01\;cos \; 2\pi \left(\frac{10}{\pi}x-50t\right)$

$y_{1}=0,01\;cos \; 2\pi \left(20x+100\pi t\right)$

dengan y dan x dalam meter serta t dalam sekon. Apabila superposisi kedua gelombang tersebut menghasilkan gelombang stasioner, simpangan yang ditempuh pada waktu = 0,02 s dan pada $x=\frac{\pi}{60}\;m$ adalah ..... (SIMAK UI 2014)

A. 0,05 m

B. 0,04 m

C. 0,03 m

D. 0,02 m

E. 0,01 m

Pembahasan

Diketahui
Gelombang pertama

\begin{aligned} y_{1}&=0,01\;cos\; 2\pi \left(\frac{10}{\pi}x-50t \right)\\ y_{1}&=0,01\;cos\; 2\pi \left(\frac{10}{\pi}(\frac{\pi}{60})-50(0,02) \right)\\ y_{1}&=0,01\;cos 2\pi \left(\frac{1}{6}-1\right)\\ y_{1}&=0,01\;cos\;2\pi \left(-\frac{5}{6}\right)\\ y_{1}&=0,01\; cos\; \left(-\frac{5\pi}{3}\right)\\ y_{1}&=0,01\left(\frac{1}{2}\right)\\ y_{1}&=0,005\; m\end{aligned}

Gelombang kedua

\begin{aligned}y_{2}&=0,01\; cos(20x+100\pi t)\\ y_{2}&=0,01\;cos \left(20\left(\frac{\pi}{60}\right)+100\pi(0,02)\right)\\ y_{2}&=0,01cos\; \left(\frac{\pi}{3}+2\pi \right)\\ y_{2}&=0,01(0,5)\\ y_{2}&=0,005\;m \end{aligned}
Superposisi kedua gelombang

$y=y_{1}+y_{2}$

$y=0,005+0,005$

$y=0,01\;m$
Jawaban E
14. Soal

Seorang anak menjatuhkan sebuah kayu di permukaan air sehingga pada permukaan air terbentuk gelombang. Jika mengganggap persamaan simpangan gelombang yang dihasilkan $y=6\;sin(0,2\pi t+0,5\pi x)$ dimana y dan x dalam cm dan t dalam sekon, dapat disimpulkan:

(1) Amplitudo gelombang 6 cm

(2) Frekuensi gelombang 0,4 Hz

(3) Panjang gelombang 4 cm

(4) Cepat rambat gelombang 1,6 cm/s
Kesimpulan yang benar
A. (1) dan (2)
B. (1) dan (3)
C. (2) dan (3)
D. (2) dan (4)
E. (3) dan (4)

Pembahasan

Diketahui

Gelombang Mekanik

$y=6\;sim (0,2\pi t+0,5\pi x)$ sesuai dengan persamaan $y=A\;sin(\omega t+kx)$

a. Ampitudo

$A=6\;cm$
b. Kecepatan Sudut

\begin{aligned} \omega &=0,2\pi \\ 2\pi f&=0,2\pi\\ f&=0,1\;Hz \end{aligned}
c. Panjang Gelombang

\begin{aligned} k&=0,5\pi /cm\\ \frac{2\pi}{\lambda}&=0,5\pi /cm\\ \lambda&=\frac{2}{0,5}\\ \lambda&= 4\;cm \end{aligned}
d. Cepat rambat

\begin{aligned} v&=\frac{koef\; t}{koef\; x}\\ v&=\frac{0,2\pi}{0,5\pi}\\ v&=0,4\; cm/s\end{aligned}
Jawaban B

15. Soal

Perhatikan gambar gelombang berikut ini!

Dari gambar tersebut titik - titik yang mempunyai fase 1,5 adalah?
A. P dengan V
B. P dengan U
C. Q dengan U
D. Q dengan T
E. R dengan S
Pembahasan

Diketahui

Gelombang Mekanik

Fase adalah posisi partikel pada gelombang

fase mirip jumlah gelombang

dua titik yang memiliki fase 1,5 adalah titik P dan V

Jawaban A