Perkalian Dot dan Cross Vektor
Perkalian vektor dibedakan menjadi:
A. Perkalian Vektor dengan Skalar
Hasil kali antara vektor dengan skalar adalah vektor, contoh: hasil kali vektor kecepatan dengan waktu adalah perpindahan, hasil kali massa dengan vektor kecepatan adalah vektor momentum.
B. Perkalian Titik $(dot\;product)$
$\vec{A}.\vec{B}=\left |\vec{A}\right | \left |\vec{B}\right |cos\;\alpha$
Hasil perkalian dot product adalah skalar
Contoh : $W=F.s$ dan $P=F.v$
Perkalian vektor satuan dapat dituliskan sebagai berikut:
$\hat{i}.\hat{i}=1$
$\hat{j}.\hat{j}=1$
$\hat{k}.\hat{k}=1$
sedangkan $\hat{i}.\hat{j}=\hat{j}.\hat{k}=\hat{k}.\hat{i}=0$
1. Contoh Soal
Jika dua vektor A dan B dinyatakan dengan:
$A=2\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$
$B=-2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}$
maka berapakah hasil perkalian dot product kedua vektor
A. -2
B. 2
C. 14
D. -8
E. -10
Pembahasan
$A.B=(2\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}).(-2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k})$
$A.B=(-4)+6+(12)= 14$
2. Contoh Soal
Diketahui vektor $A=2\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k}$ dan $B=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$. Sudut antara A dan B adalah?
A. $90^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $53^{\circ}$
D. $45^{\circ}$
E. $30^{\circ}$
Pembahasan
Berdasarkan rumus perkalian dot
$A.B=(2\hat{i}+5\hat{j}+4\hat{k}).(\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k})$
$A.B=2+10+(-12)= 0$
dan
$\left |A \right |=\sqrt {2^{2}+5^{2}+4^{2}}=\sqrt{4+25+16}=\sqrt{45}$
$\left |B \right |=\sqrt {1^{2}+2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$
maka:
$\vec{A}.\vec{B}=\left |\vec{A}\right | \left |\vec{B}\right |cos\;\alpha$
$0=\sqrt{45}.\sqrt{14}\;cos\;\alpha$
$0=cos\;\alpha$
$\alpha=90^{\circ}$
3. Contoh Soal
Diketahui vektor $A=2\hat{i}+4\hat{j}-n\hat{k}$ dan $B=\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$. Jika kedua vektor tersebut saling tegak lurus, maka nilai n adalah?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Pembahasan
$\vec{A}.\vec{B}=\left |\vec{A}\right | \left |\vec{B}\right |cos\;\alpha$
$\vec{A}.\vec{B}=\left |\vec{A}\right | \left |\vec{B}\right |cos\;90^{\circ}$
$(2\hat{i}+4\hat{j}-n\hat{k}).(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})=\left |\vec{A}\right | \left |\vec{B}\right |(0)$
$2+8-2n=0$
$10-2n=0$
$2n=10$
$n=5$
C. Perkalian Silang $(cross\;product$)
$\vec{A}\times\vec{B}=\left |\vec{A}\right | \left |\vec{B}\right |sin\;\alpha$
Hasil perkalian cross product adalah vektor
Contoh : $\tau=r\times F$
Perkalian vektor satuan dapat dituliskan sebagai berikut:
$\hat{i}\times\hat{j}=\hat{k}$
$\hat{j}\times\hat{k}=\hat{i}$
$\hat{k}\times\hat{i}=\hat{j}$
dan
$\hat{j}\times\hat{i}=-\hat{k}$
$\hat{k}\times\hat{j}=-\hat{i}$
$\hat{i}\times\hat{k}=-\hat{j}$
Sedangkan
$\hat{i}\times\hat{i}=0$
$\hat{j}\times\hat{j}=0$
$\hat{k}\times\hat{k}=0$
Atau menggunakan metode searah jarum jam (+) dan berlawanan arah jarum jam (-)
