Gelombang Stasioner

Gelombang stasioner 

merupakan perpaduan dua gelombang yang mempunyai frekuensi, cepat rambat, dan amplitudo yang sama besar namun merambat dalam arah yang berlawanan. Singkatnya, gelombang stasioner merupakan perpaduan atau super posisi dari dua gelombang yang identik namun berlawanan arah. Sebagai contoh gelombang tali yang diikat di salah satu ujungnya, kemudian ujung yang lain kita ayunkan naik turun.

Besar amplitudo gelombang stasioner akan berubah-ubah di antara nilai maksimum dan minimumnya. Titik yang amplitudonya maksimum disebut  perut dan titik dengan amplitudo minimum disebut simpul. 

Gelombang stasioner ada dua yaitu gelombang stasioner pada ujung tetap dan ujung bebas.

Penurunan persamaan gelombang stasioner pada ujung terikat dan ujung bebas.

1. Ujung Terikat

Gelombang datang : $y_{1}= A\; sin(\omega t-k(l-x))$ (merambat ke kanan)

Sedangkan geombang pantul yang merambat ke kiri dan dibalik (berlawanan fase) dapat dinyatakan dengan $y_{2}=A\;sin[(\omega t-k(l+x))+180^{\circ}]$, ditambah $180^{\circ}$, karena terjadi loncatan fase 1/2 pada ujung terikat.

Karena : $sin(\alpha + 180^{\circ})=-sin\; \alpha$, maka

Gelombang pantul : $y_{2}=-A\; sin (\omega t-k(l+x))$

Perpaduan gelombang datang dan gelombang pantul = gelombang stasioner

$y_{p}=y_{1}+y_{2}$

$y_{p}=A sin(\omega t-k(l-x))-Asin(\omega t -k(l+x))$

$y_{p}=Asin(\omega t-kl+kx)-Asin(\omega t-kl-kx)$

Ingat aturan triogonometri $sin\;A-sin\;B=2cos \frac{1}{2}(A+B).sin \frac{1}{2}(A-B)$

Maka:

$y_{p}=2A[cos \frac{1}{2}((\omega t-kl+kx) + (\omega t-kl-kx). sin \frac{1}{2}((\omega t -kl +kx) - (\omega t -kl-kx))]$

$y_{p}=2Acos\frac{1}{2}(2\omega t - 2kl).sin\frac{1}{2}(2kx)$

$y_{p}=2Asin(kx).cos(\omega t_{s}-kl)$

$\boxed{y_{p}=2Asin(kx).cos(\omega t_{p})}$

dengan amplitudo stasioner ujung terikat

$\boxed{A_{s}=2Asin(kx)}$

keterangan:

l = panjang tali (m)

$A_{s}$= Amplitudo stasioner

x= jarak titik P terhadap ujung pantul

Jarak perut dan simpul

Simpul

$\boxed{S_{n}=\frac{n-1}{2}\lambda}$

Perut

$\boxed{P_{n}=\frac{2n-1}{4}\lambda}$

dengan n= orde = 1,2,3,....

catatan perut dan simpul selalu di ukur dari ujung pantul

Contoh Soal

Suatu gelombang stasioner memenuhi $y=10sin(0,2\pi x)cos(80\pi t) cm$ , dengan x dalam centimeter dan t dalam sekon. Pernyataan di bawah ini yang benar adalah? (SNMPTN 2012)
1) besar amplitudo tetap 10 cm
2) pada x = 5 cm dari ujung tetap terjadi amplitudo minimum
3) panjang gelombang adalah 1 cm
4) frekuensi gelombang adalah 40 Hz

Pembahasan

Diketahui persamaan gelombang stasioner ujung terikat

$y=10sin(0,2\pi x)cos(80\pi t) cm$

$y=2Asin(kx)cos(\omega t)$

1) Amplitudo

$2A=10\;cm$

$A=5\; cm$

2) Pada jarak x = 5 cm

$A_{s}=10sin(0,2\pi x)$

$A_{s}=10sin(0,2\pi (5))$

$A_{s}=10sin(\pi)$

$A_{s}=0\; cm$

3) panjang gelombang

\begin{aligned} k&=\frac{2\pi}{\lambda}\\ \lambda &=\frac{2\pi}{k}\\ \lambda &=\frac{2\pi}{0,2\pi}\\ \lambda &=10\; m \end{aligned}

4) frekuensi gelombang (f)

\begin{aligned} \omega &=80\pi \; rad/s\\ 2\pi f &=80\pi \\ f&=40\; Hz \end{aligned}

Jawaban C (2 dan 4)

2. Ujung Bebas

Gelombang datang : $y_{1}= A\; sin(\omega t-k(l-x))$ (merambat ke kanan)

Sedangkan gelombang pantul yang merambat ke kiri dan dibalik (sefase) dapat dinyatakan dengan $y_{2}=A\;sin[(\omega t-k(l+x))$ (merambat ke kiri)

Gelombang pantul :  $y_{2}=A\;sin[(\omega t-k(l+x))$

$y_{p}=y_{1}+y_{2}$

$y_{p}=A sin(\omega t-k(l-x))+Asin(\omega t -k(l+x))$

$y_{p}=Asin(\omega t-kl+kx)+Asin(\omega t-kl-kx)$

Ingat aturan triogonometri $sin\;A+sin\;B=2sin \frac{1}{2}(A+B).cos \frac{1}{2}(A-B)$

Maka:

$y_{p}=2A[sin \frac{1}{2}((\omega t-kl+kx) + (\omega t-kl-kx). cos \frac{1}{2}((\omega t -kl +kx) - (\omega t -kl-kx))]$

$y_{p}=2Asin\frac{1}{2}(2\omega t - 2kl).cos\frac{1}{2}(2kx)$

$y_{p}=2Acos(kx).sin(\omega t_{s}-kl)$

$\boxed{y_{p}=2Acos(kx).sin(\omega t_{p})}$

dengan mplitudo stasioner ujung bebas

$\boxed{A_{s}=2Acos(kx)}$

Jarak perut dan simpul

Simpul

$\boxed{S_{n}=\frac{2n-1}{4}\lambda}$

Perut

$\boxed{P_{n}=\frac{n-1}{2}\lambda}$

dengan n= orde = 1,2,3,....

catatan perut dan simpul selalu di ukur dari ujung pantul

Contoh Soal

Suatu gelombang stasioner mempunyai $y=\;0,2cos(5\pi x)sin(10\pi t)$ (y dan x dalam meter dan t dalam sekon). Pernyataan yang BENAR adalah
(1) jarak antara perut dan simpul yang berurutan adalah 0,1 m
(2) frekuensi gelombangnya adalah 5 Hz
(3) panjang gelombangnya 0,4 m
(4) kecepatan gelombang 1 m/s

Pembahasan

Diketahui persamaan gelombang stasioner ujung bebas

$y=\;0,2cos(5\pi x)sin(10\pi t)$

$y=2Acos(kx)sin(\omega t)$

maka :

$2A= 0,2\; m$

$A= 0,1\;n$

$k=\;5\pi\; /m$

$\omega=\; 10\pi\; rad/s$

maka: 

1) jarak perut ke simpul adalah

 $P-S=\frac{1}{4}\lambda=\frac{1}{4}(0,4)=0,1\; m$

2) frekuensi gelombang (f)

\begin{aligned} \omega &=10\pi \; rad/s\\ 2\pi f &=10\pi \\ f&=5\; Hz \end{aligned}

3) panjang gelombang

\begin{aligned} k&=\frac{2\pi}{\lambda}\\ \lambda &=\frac{2\pi}{k}\\ \lambda &=\frac{2\pi}{5\pi}\\ \lambda &=0,4\; m \end{aligned}

4) kecepatan rambat gelombang (v)

$v=\frac{koef. t}{koef. x}=\frac{10\pi}{5\pi}=2\; m/s$

Jawaban A(1,2 dan 3) 

Untuk melatih kemampuan soal gelombang stasioner bisa kunjungi pembahasan soal gelombang stasioner